تعتبر الأعداد من أهم العناصر في الرياضيات، حيث تتنوع أنواعها لتشمل الأعداد النسبية والغير نسبية،الأعداد النسبية تمثل جزءًا كبيرًا من العمليات الرياضية اليومية، بينما الأعداد الغير نسبية تقدم تحديات جديدة في بعض المعادلات الرياضية،سوف نستعرض في هذا المقال تعريفات الأعداد المختلفة، خصائصها، وصيغها، ونلقي الضوء على أهميتها في الحياة اليومية والعلوم،سنستغرق في هذا الموضوع نظرًا لأهميته في فهم الرياضيات بشكل أعمق وتطبيقاته العملية.
ماهي الأعداد النسبية والغير نسبية
تنقسم الأعداد إلى فئتين رئيسيتين هما الأعداد النسبية والغير نسبية،هذا التقسيم يعتمد على إمكانية كتابة الأعداد في شكل كسر بين عددين صحيحين،في هذه الفقرة سوف نتعرف على كل من الأعداد النسبية والغير نسبية وكيف يختلف كل منهما عن الآخر.
أولا الأعداد النسبية
تُعرف الأعداد النسبية بأنها الأعداد التي يمكن التعبير عنها على هيئة كسور، حيث يُكتب العدد كلبسط ومقام “a/b”، بحيث يكون كل من “a” و“b” أعداداً صحيحة و”b” لا تساوي صفر،يعتبر الصفر عددًا نسبيًا أيضًا، حيث يمكن كتابته ك”0/1”،الأعداد النسبية تشمل كل من الأعداد الكاملة والأعداد الكسرية.
على سبيل المثال، الأعداد 1، -2، 3/4، و0 جميعها تعتبر أعدادا نسبية حيث يمكن التعبير عنها على شكل كسور،الأعداد النسبية يمكن أن تكون أيضاً موجبة أو سالبة، وهذا يعتمد على إشارة البسط والمقام.
ثانيًا الأعداد الغير نسبية
الأعداد الغير نسبية هي الأعداد التي لا يمكن كتابتها ككسور،أي أنها تتميز بأن قواسمها تتسبب في نتائج لفئات لا نهائية وغير متكررة،من أمثلة الأعداد الغير نسبية الشهيرة الجذر التربيعي ل2, π (باي) وe،هذه الأعداد لا يمكن تمثيلها بدقة كقيم كسريّة.
خصائص الأعداد النسبية
لدي الأعداد النسبية مجموعة من الخصائص المميزة التي تجعلها مفيدة في إجراء العمليات الحسابية المعقدة،دعنا نغوص في بعض من هذه الخصائص لنفهم كيف يمكن الاستفادة منها بشكل أكبر.
1- في حالة ضرب البسط والمقام
عند ضرب عدد نسبي في عدد صحيح، تنجح العملية دائمًا بإنتاج عدد نسبي أيضاً،مثلاً، إذا قمنا بضرب 4/5 في 3، سنحصل على 12/5، وهي أيضاً عدد نسبي.
2- في حالة القسمة
في عمليات القسمة، تظل قيمة العدد النسبي على حالها،فإذا قمنا بقسمة 8/4 على 2، نحصل على 2/1، وهو أيضًا عدد نسبي،هذا يظهر استمرارية الأعداد النسبية.
3- في عملتي الجمع والطرح والضرب
عند إجراء العمليات الأساسية للجمع والطرح بين الأعداد النسبية، يتعين أن يحافظ الناتج على كونه عددًا نسبيًا،هذا يعكس طبيعة الأعداد النسبية في تطبيق القواعد الرياضية.
4- في حالة الجمع
عندما نجمع عددين نسبيين لهما نفس المقام، ينبغي جمع البسطين مع الاحتفاظ بنفس المقام،على سبيل المثال، إذا جمعنا 1/4 و2/4، سيكون الناتج 3/4.
5- ضرب عددين نسبيين
عند ضرب عددين نسبيين، يتم ضرب البسطين معًا للحصول على بسط جديد وضرب المقامين معًا للحصول على مقام جديد، مما يتيح الحصول على عدد نسبي دائمًا.
6- خصائص ثابتة
هناك خصائص ثابتة أخرى خاصة بالأعداد النسبية منها
- عند إيجاد الجذر التربيعي لعدد نسبي، يكون الناتج دائمًا عددًا نسبيًا.
- عند إجراء عمليات الضرب بين الجذور للعدد الغير نسبي، تؤدي النتائج غالبًا إلى أعداد نسبية.
- إذا كان العامل المشترك بين البسط والمقام هو 1، فإن الناتج يعتبر الصورة القياسية للعدد النسبي.
أمثلة على الأعداد النسبية
لنستعرض الآن بعض الأمثلة لنعرف كيف تنطبق الأعداد النسبية والغير نسبية على المعادلات الحياتية الشائعة والممارسات اليومية.
1- مجموعة الأعداد الصحيحة
كل عدد صحيح يعد عددًا نسبيًا، لأنه يمكن كتابته على هيئة كسر حيث يكون المقام 1،على سبيل المثال
- الأعداد الموجبة مثل 5 يمكن كتابتها كـ 5/1.
- الأعداد السالبة مثل -3 يمكن كتابتها كـ -3/1.
- العدد صفر هو عدد نسبي، ويمكن كتابته كـ 0/1.
2- مجموعة الأعداد الكسرية
الأعداد الكسرية تعتبر مثالًا شائعًا على الأعداد النسبية، حيث تُكتب بصيغة b/a،مع مراعاة عدم تساوي المقام للصفر.
- مثل 3/4 والذي يُعد كعدد نسبي لأنه يمثل كسرًا صحيحًا.
- أيضًا الكسر 0.75 يمكن تحويله إلى 3/4، مما يثبت أنه عدد نسبي.
3- مجموعة الكسور العشرية
هذه المجموعة تمثل الأعداد التي يمكن كتابتها بشكل كسر أو تحويلها إلى صيغة عشرية،على سبيل المثال
- الكسر العشري 0.25 يمكن كتابته كـ 1/4،وبالتالي يُعتبر عددًا نسبيًا.
- الكسر العشري الدوري 0.3333..،يمكن تمثيله بكونه 1/3، مما يوضح طبيعته كعدد نسبي.
الفرق بين العدد النسبي الموجب والسالب
فيما يتعلق بالعدد النسبي، يحمل العدد الموجب إشارتين متشابهتين للبسط والمقام، بينما يتسم السالب بإشارات مختلفة،هذا يتضح عند معالجة الأعداد في عمليات الجمع والطرح.
أمثلة على الأعداد الغير نسبية
الأعداد الغير نسبية تشمل مجموعة متميزة من الأرقام التي تتميز بصيغتها الخاصة،ومن أبرزها
- ثابت أولير e يُمثل قيمة ثابتة قريبة من 2.718281828459، وهو عدد غير نسبي مشهور.
- العدد باي π قيمة ثابتة تقدر بحوالي 3.141592653589، ولا يمكن تمثيلها ككسر بدقة.
- وعلى نطاق أوسع تشمل الجذور لعدد غير مربع كعدد غير نسبي.
باختصار، الأعداد النسبية والغير نسبية تحظى بأهمية عظيمة في عالم الرياضيات، حيث تلعب دوراً أساسياً في الكثير من التطبيقات العملية والبحوث العلمية،فهم هذه الأعداد ومميزاتها يمكننا من حل العديد من المسائل الرياضية بفعالية وكفاءة،من خلال التعرف على الأعداد وطبيعتها، يمكن تحقيق فهم أعمق لمفاهيم الرياضيات واستنتاجاتها.
